© Ediciones Milenio - Jenga 9 Sea (x, y, h) donde se supone que x es par, h y y impares. En la expresión x2 + y2 = h2 se despeja x2: x2 = h2 − y2 Se resuelve la diferencia de cuadrados: x2 = (h − y) (h + y) Ahora se proponen tres números a, b y c, tal que: x = 2a h − y = 2b h + y = 2c Luego, al reemplazar x2 = (h + y) (h − y), por los números a, b y c se obtiene: x2 = h2 – y2 x2 = (h − y) (h + y) (2a)2 = 2b · 2c a2 = b · c Se tiene en cuenta que, si el producto de dos números enteros positivos primos relativos b y c es igual a un cuadrado, entonces tanto b como c son cuadrados. Existen dos enteros positivos p y q tal que b = p2 y c = q2, donde p y q son primos relativos al ser también b y c. De esta manera, se tiene que: h = b + c = p2 + q2 Distinta paridad p y q, porque y y h son impares. y = b − c = p2 − q2 Luego, tenemos que: x2 = h2 − y2 = (p2 + q2)2 − (p2 − q2)2 Se resuelven los cuadrados: x2 = p4 + 2p2q2 + q4 − (p4 − 2p2q2 + q4) x2= p4 + 2p2q2 + q4 − p4 + 2p2q2 – q4 Al reducir términos semejantes: x2 = 4p2q2 Se extrae raíz en ambos miembros de la igualdad. x p q x pq 2 2 2 4 2 = = x p q 2 2 2 4 2 = = De esta manera, los números que determinan los lados del triángulo son: x = 2pq y = p2 − q2 h = p2 + q2 La terna pitagórica es (2pq; p2 − q2; p2 + q2), donde p > q, además p y q son de distinta paridad y primos relativos. 7 Pensamiento numérico y variacional Pensamiento numérico y variacional Número reales Operación con radicales Distancia entre dos puntos en la recta real Racionalización del denominador de una fracción Potenciación de números reales Notación científica Números complejos Operaciones con números complejos Módulo o valor absoluto de un número complejo Radicación de números reales Exponentes racionales Área de figuras planas Métodos de demostración Área y volumen de una pirámide Estadística Distribución de frecuencias para datos agrupados Los impuestos Área de regiones circulares Área y volumen del cilindro, el cono y la esfera Área y volumen de cuerpos geométricos 10 40 15 41 19 16 49 46 44 24 23 21 50 29 34 54 25 31 27 60 económica y FINANCIERA Educación Pensamiento aleatorio Pensamiento aleatorio Pensamiento espacial y métrico Pensamiento espacial y métrico DBA 1 DBA 1 DBA 3 DBA 3 DBA 1 DBA 1 DBA 2 DBA 4 DBA 4 DBA 9 DBA 9 DBA 4 DBA 4 DBA 4 DBA 10 DBA 10
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