© Ediciones Milenio - Jenga 9 2 Pág. Pág. Pensamiento numérico y variacional Funciones Función lineal y función afín Inecuaciones lineales Sistemas de inecuaciones lineales Ecuación general de la recta Rectas paralelas y rectas perpendiculares Ecuación de la recta conociendo la pendiente y las coordenadas de un punto Medidas de tendencia central para datos agrupados Moda Las deudas 70 68 107 105 74 76 73 Pensamiento numérico y variacional Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables Resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos variables por el método de sustitución Sistemas de ecuaciones lineales con tres variables 92 95 101 86 84 118 económica y FINANCIERA Educación Pensamiento aleatorio Medidas de dispersión para datos agrupados 112 Pensamiento aleatorio Razones y proporciones Teorema de Tales 80 78 Pensamiento espacial y métrico Triángulos semejantes 108 Pensamiento espacial y métrico DBA 2 DBA 2 DBA 8 DBA 8 DBA 8 DBA 8 DBA 8 DBA 8 DBA 6 DBA 6 DBA 5 DBA 9 DBA 10 DBA 10 DBA 10 Pensamiento numérico y variacional Pensamiento numérico y variacional Número reales Operación con radicales Distancia entre dos puntos en la recta real Racionalización del denominador de una fracción Potenciación de números reales Notación científica Números complejos Operaciones con números complejos Módulo o valor absoluto de un número complejo Radicación de números reales Exponentes racionales Área de figuras planas Métodos de demostración Área y volumen de una pirámide Estadística Distribución de frecuencias para datos agrupados Los impuestos Área de regiones circulares Área y volumen del cilindro, el cono y la esfera Área y volumen de cuerpos geométricos 10 40 15 41 19 16 49 46 44 24 23 21 50 29 34 54 25 31 27 60 económica y FINANCIERA Educación Pensamiento aleatorio Pensamiento aleatorio Pensamiento espacial y métrico Pensamiento espacial y métrico DBA 1 DBA 1 DBA 3 DBA 3 DBA 1 DBA 1 DBA 2 DBA 4 DBA 4 DBA 9 DBA 9 DBA 4 DBA 4 DBA 4 DBA 10 DBA 10
© Ediciones Milenio - Jenga 9 3 Pensamiento numérico y variacional Pensamiento numérico y variacional Pensamiento numérico y variacional Pensamiento numérico y variacional Funciones cuadráticas y sus gráficas Función exponencial Sucesiones aritméticas Sumatoria Propiedades de los logaritmos Sucesiones Solución de ecuaciones cuadráticas completas por factorización Solución de ecuaciones cuadráticas completas completando el cuadrado Solución de ecuaciones cuadráticas completas por fórmula cuadrática Ecuaciones reductibles a ecuaciones cuadráticas Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas Características de la función cuadrática Función logarítmica Sucesiones geométricas Serie aritmética Serie geométrica Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Operaciones y propiedades de sucesiones numéricas Sistemas de ecuaciones con logaritmos Ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax2 = 0 y ax2 = c Ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax2 + c = 0 Ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax2 + bx = 0 Medidas de posición relativa Combinaciones Probabilidad Técnicas de conteo Gráficas estadísticas Permutaciones La inflación Presupuesto familiar 126 178 200 206 182 188 150 152 158 156 154 128 180 202 210 208 184 204 186 132 134 136 142 194 216 164 144 166 170 220 Pág. Pág. económica y FINANCIERA Educación económica y FINANCIERA Educación Pensamiento aleatorio Pensamiento aleatorio Pensamiento aleatorio Pensamiento aleatorio Semejanza en los triángulos rectángulos Ángulos de la circunferencia Teoremas de las cuerdas y secantes Teoremas de las secantes La circunferencia Teorema de Pitágoras Rectas tangentes a la circunferencia 138 190 214 212 160 139 162 Pensamiento espacial y métrico Pensamiento espacial y métrico Pensamiento espacial y métrico Pensamiento espacial y métrico DBA 2 DBA 2 DBA 8 DBA 8 DBA 8 DBA 8 DBA 8 DBA 8 DBA 5 DBA 5 DBA 5 DBA 6 DBA 6 DBA 6 DBA 9 DBA 9 DBA 10 DBA 10 DBA 11 DBA 11 DBA 11 DBA 11 DBA 3 DBA 3
© Ediciones Milenio - Jenga 9 4 En esta sección activarás tus conocimientos previos mediante la realización de actividades, juegos, procedimientos y manualidades. Cada unidad empieza con un juego en el que pondrás a prueba tus habilidades matemáticas. Los contenidos de cada componente se desarrollan con ejemplos y problemas de aplicación que posibilitan una mejor comprensión del conocimiento nuevo. Encontrarás que la exposición del tema nuevo se hace mediante la utilización de ejemplos y cuadros de síntesis. Cada tema termina con una serie de ejercicios y actividades relacionados con los procesos generales del área: modelación, comunicación matemática, razonamiento, ejercitación de procedimientos y formulación y resolución de problemas. Pensamiento numérico y variacional Pensamiento espacial y métrico Pensamiento aleatorio © Ediciones Milenio - Jenga 6 61 1 2 3 4 5 ¡A encontrar regularidades! Sea la secuencia de números Cn, siendo Cn = Tn + Tn + 1 Por ejemplo, C1 = T1 + T2 ⇒ C1 = 1 + 3 ⇒ C1 = 4 4. Forma la secuencia de los cinco primeros números Cn. Toma como primer número de la secuencia el 1, es decir: C1 = 1. C2 = 1 + 3 ⇒ C2 = 4 C3 = 3 + 6 ⇒ C3 = 9 C4 = 6 + 10 ⇒ C4 = 16 C5 = 10 + 15 ⇒ C5 = 25 C6 = 15 + 21 ⇒ C6 = 36 5. Observa la representación de los cinco primeros números de la secuencia Cn. 6. ¿Qué características tiene la representación de los números de la secuencia Cn? Escribe las características de las figuras. 7. Completa la tabla a partir de la representación de cada número de la secuencia, en cuanto al área de los cuadrados. C1 C2 C3 C4 C5 12 22 8. Escribe una fórmula para encontrar el número Cn. Pensamiento numérico Múltiplos de un número natural Divisores de un número natural Criterios de divisibilidad Descomposición en factores primos El máximo común divisor Métodos para hallar el máximo común divisor El mínimo común mútliplo Triángulos Unidades agrarias de área Patrones numéricos y patrones geométricos Magnitudes correlacionadas Distribución de frecuencias Cuadriláteros Clasificiación de cuadriláteros Unidades de medida de masa Gráficos estadísticos Los CDT 92 90 88 72 68 66 64 76 74 100 80 82 97 96 94 102 106 Pág. económica y FINANCIERA Educación Pensamiento geométrico Pensamiento aleatorio Pensamiento variacional Pensamiento métrico © Ediciones Milenio - Jenga 6 60 Los números triangulares Los números triangulares son aquellos que pueden representarse mediante un arreglo triangular de puntos, conformando un triángulo equilátero. Los primeros son 1 (por convención), 3, 6, 10, 15 ,21, 28, 36. Se puede ver que un número triangular es igual a la suma de números enteros consecutivos. Así, el quinto número triangular es 15 porque 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Observa los cinco primeros números triangulares. 3. Escribo la secuencia de los diez primeros números triangulares. T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 2. ¿Cómo me represento? Voy formando un triángulo, cuya base es igual a 9 puntos. 1. ¿Qué número soy? Soy el noveno número triangular. T1 = 1 T2 = 3 T3 = 6 T4 = 10 T5 = 15 1 1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4 1 + 2 + 3 + 4 + 5 Juego de inicio Aprendizajes
© Ediciones Milenio - Jenga 9 5 Es el principal objetivo de la enseñanza de las matemáticas. Se presenta el modelo desarrollado del proceso propuesto por el matemático húngaro George Pólya para la resolución de problemas: comprensión del enunciado, planeación de una estrategia, resolución de operaciones y verificación del resultado. Los procesos y contenidos trabajados durante la unidad se evalúan en un formato de evaluación tipo prueba Saber que busca verificar el dominio conceptual del tema y la habilidad en la resolución de procedimientos. La educación financiera abarca diferentes aspectos de la vida, de manera que si es enseñada desde temprana edad preparará a los más pequeños para tomar mejores decisiones en el futuro. Cada unidad cuenta con un apartado dedicado a este tema. Cada sección de trabajo está identificada con un ícono que representa la competencia a desarrollar. económica y FINANCIERA Educación PRACTICA Estrategiade resolución de problemas Saber Evaluación Tipo APLICA COMUNICA RESUELVE PROBLEMAS PIENSA Y RAZONA
© Ediciones Milenio - Jenga 9 Triángulos pitagóricos En clase, los estudiantes del grado noveno han aprendido acerca del teorema de Pitágoras, donde a partir de dos números enteros positivos x, y se puede encontrar un tercer número h, llamado hipotenusa. En la expresión x2 + y2 = h2 los valores de x y y son las medidas de los lados y h puede ser un número entero, racional e incluso irracional. Los estudiantes deben encontrar tres números enteros positivos x, y, h que sean las medidas de un triángulo rectángulo y que cumplan la relación pitagórica x2 + y2 = h2, donde h debe ser un número entero positivo. Por ejemplo, los lados del triángulo miden 4 y 3 respectivamente. De esta manera, al aplicar el teorema de Pitágoras, se tiene: (4)2 + (3)2 = h2; luego 16 + 9 = h2, ahora 25 = h2. Finalmente, 5 = h, la hipotenusa es h = 5, que es un número entero. Completa la tabla teniendo en cuenta las siguientes indicaciones. a. Determina 5 parejas de números p y q enteros positivos, p ≤ 5, p > q, que al ser los lados x, y de un triángulo rectángulo, se cumpla que h +. Si se toma p = 2, q = 1 y teniendo en cuenta que x = 2pq; y = p2 − q2; h = p2 + q2 x = 2(2)(1) = 4 y = (2)2 − (1)2 = 3 h = (2)2 + (1)2 = 5 Cumpliendo que los números 4, 3 y 5 son los lados de un triángulo rectángulo. b. Dibuja los 5 triángulos rectángulos que cumplen con las condiciones dadas en el punto anterior. p q 2pq p2 − q2 p2 + q2 x y h Triángulo 2 1 4 3 5 4 3 5 x = 4 y = 3 h = ? 4 5 3 6
© Ediciones Milenio - Jenga 9 Sea (x, y, h) donde se supone que x es par, h y y impares. En la expresión x2 + y2 = h2 se despeja x2: x2 = h2 − y2 Se resuelve la diferencia de cuadrados: x2 = (h − y) (h + y) Ahora se proponen tres números a, b y c, tal que: x = 2a h − y = 2b h + y = 2c Luego, al reemplazar x2 = (h + y) (h − y), por los números a, b y c se obtiene: x2 = h2 – y2 x2 = (h − y) (h + y) (2a)2 = 2b · 2c a2 = b · c Se tiene en cuenta que, si el producto de dos números enteros positivos primos relativos b y c es igual a un cuadrado, entonces tanto b como c son cuadrados. Existen dos enteros positivos p y q tal que b = p2 y c = q2, donde p y q son primos relativos al ser también b y c. De esta manera, se tiene que: h = b + c = p2 + q2 Distinta paridad p y q, porque y y h son impares. y = b − c = p2 − q2 Luego, tenemos que: x2 = h2 − y2 = (p2 + q2)2 − (p2 − q2)2 Se resuelven los cuadrados: x2 = p4 + 2p2q2 + q4 − (p4 − 2p2q2 + q4) x2= p4 + 2p2q2 + q4 − p4 + 2p2q2 – q4 Al reducir términos semejantes: x2 = 4p2q2 Se extrae raíz en ambos miembros de la igualdad. x p q x pq 2 2 2 4 2 = = x p q 2 2 2 4 2 = = De esta manera, los números que determinan los lados del triángulo son: x = 2pq y = p2 − q2 h = p2 + q2 La terna pitagórica es (2pq; p2 − q2; p2 + q2), donde p > q, además p y q son de distinta paridad y primos relativos. 7 Pensamiento numérico y variacional Pensamiento numérico y variacional Número reales Operación con radicales Distancia entre dos puntos en la recta real Racionalización del denominador de una fracción Potenciación de números reales Notación científica Números complejos Operaciones con números complejos Módulo o valor absoluto de un número complejo Radicación de números reales Exponentes racionales Área de figuras planas Métodos de demostración Área y volumen de una pirámide Estadística Distribución de frecuencias para datos agrupados Los impuestos Área de regiones circulares Área y volumen del cilindro, el cono y la esfera Área y volumen de cuerpos geométricos 10 40 15 41 19 16 49 46 44 24 23 21 50 29 34 54 25 31 27 60 económica y FINANCIERA Educación Pensamiento aleatorio Pensamiento aleatorio Pensamiento espacial y métrico Pensamiento espacial y métrico DBA 1 DBA 1 DBA 3 DBA 3 DBA 1 DBA 1 DBA 2 DBA 4 DBA 4 DBA 9 DBA 9 DBA 4 DBA 4 DBA 4 DBA 10 DBA 10
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