© Ediciones Milenio - Jenga 8 4 128° 32° 32° 60° 69° 79° 60° 30° 20° 65° 55° E E E F F G 35° 35° 35° 72° 72° 6 cm 6 cm 6 cm H I J V W Z Q R R N © Ediciones Milenio - Jenga 8 50 COMUNICA COMUNICA PIENSA Y RAZONA PIENSA Y RAZONA Construcción de un triángulo con dos ángulos y un lado común Paso 1. Se construye el lado conocido. Paso 2. Desde cada uno de los extremos del lado se trazan los ángulos dados. Paso 3. La intersección de los lados de los ángulos es el tercer vértice del triángulo Ejemplo Para construir el triángulo EFG, del cual se conoce, m ]E = 35° y m ]F = 72° y el lado común EF de longitud 6 cm, se sigue el procedimiento descrito: Se traza el segmento EF de 6 cm de longitud, y en uno de sus extremos se construye uno de los ángulos; por ejemplo, ]E. Se construye el ]F en el otro extremo del segmento EF. El punto de intersección de los lados no comunes del ]E y del ]F es el vértice G del triángulo EFG. 1. Explica la clasificación de los triángulos según la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos. 2. Clasifica los triángulos según la medida de sus lados. a. b. 3. Determina la clase de triángulo según la medida de sus ángulos representado a cada caso. a. b. Aprendizajes 4. Dibuja un ejemplo del triángulo que se indica en cada caso. a. Isósceles y rectángulo. b. Escaleno y acutángulo c. Escaleno y rectángulo. d. Isósceles y obtusángulo. e. Equilátero y acutángulo. c. d. c. d. r = 9 cm r = 9 cm r = 1 cm 8 cm 15 cm l r = 5 cm r = 2 cm 25 cm 12 cm 10 cm 35 cm © Ediciones Milenio - Jenga 8 181 7. Plantea la inecuación que permite resolver cada problema. a. Juan debe trasladar varias cajas de un primer piso hasta el quinto piso de un edificio. Un aviso del ascensor advierte que el peso máximo que soporta es de 800 kg. Si cada caja de libros pesa 70 kg, encuentra una expresión que permita determinar el número de cajas que se pueden subir, teniendo en cuenta que el peso de Juan es de 90 kg. b. Una avioneta puede transportar un peso máximo de 1.500 kg. Si se necesitan transportar cajas cuyo peso es de 80 kg, plantea una desigualdad que sea posible utilizar para determinar el número máximo de cajas que se pueden transportar, teniendo en cuenta que la piloto pesa 68 kg. c. En una bolera, el alquiler de zapatos cuesta $2.500 pesos y cada línea cuesta $4.000 pesos. Escribe la desigualdad que permita encontrar la cantidad de líneas que se pueden jugar con $20.000 pesos. d. Un estacionamiento del centro de la ciudad cobra $1.250 pesos por la primera hora y $750 por cada hora o fracción adicional. Escribe la inecuación que permite establecer el tiempo máximo que un conductor puede estacionar su automóvil ahí, si no desea pagar más de $3.750 pesos. e. Una compañía ofrece el servicio de llamadas de larga distancia y cobra a sus clientes $99 pesos por los primeros 20 minutos y $700 pesos por cada minuto adicional. Escribe la expresión que permite determinar la cantidad de minutos que se puede hablar con $5.000 pesos. 8. Completa la siguiente tabla sobre poliedros. Poliedro Número de caras Número de vértices Número de aristas Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro 9. Encuentra el área de los cilindros que se muestran en cada figura 10. Un cono circular recto tiene una altura de 15 cm y el radio de la base es de 8 cm. Determina la altura inclinada, el área y el volumen. 11. Halla el volumen de las esferas de la figura. 12. Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5? b. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar 8 personas en 8 sillas? c. Utilizando las letras de la palabra LIBRO, ¿cuántas palabras se pueden formar sin repetir letras? En esta sección activarás tus conocimientos previos mediante la realización de actividades, juegos, procedimientos y manualidades. Juego de inicio Cada unidad empieza con un juego en el que pondrás a prueba tus habilidades matemáticas. Los contenidos de cada componente se desarrollan con ejemplos y problemas de aplicación que posibilitan una mejor comprensión del conocimiento nuevo. Encontrarás que la exposición del tema nuevo se hace mediante la utilización de ejemplos y cuadros de síntesis. Cada tema termina con una serie de ejercicios y actividades relacionados con los procesos generales del área: modelación, comunicación matemática, razonamiento, ejercitación de procedimientos, y formulación y resolución de problemas. Pensamiento numérico Pensamiento espacial Pensamiento métrico Pensamiento variacional Pensamiento aleatorio © Ediciones Milenio - Jenga 8 180 Exploremos 1. Resuelve cada ecuación. a. 5x – 1 = 14 b. 5m – 3 = 2m + 6 c. 2x + 3 + x = 9 d. 4(2x – 4) = –2(x + 3) e. 2 – (x +5) = 4x – 8 f. 6 – (n + 3) = 3n + 5 – 2n g. 5 (a + 3) – a = –(4a – 6) + 1 h. 4x – 8 = – 4(2x – 3) + 4 i. 7(x – 1) = 4(x – 2) j. 4x – 2(3x – 7) = 2x – 6 2. Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones. a. x x 6 5 3 1 – + = b. x x 5 3 3 2 5 1 0 – + = c. x x x 4 3 5 1 2 4 5 20 3 – – + = d. x 3 4 5 0 – – = e. x x x 3 2 5 10 7 2 3 – = – + 1 f. x x 2 6 8 1 = – g. x x 4 3 5 3 2 + = + h. x x 2 1 2 + =3 +1 i. x x 4 10 7 5 1 – – = j. x x x 2 1 3 2 4 3 – – – – = 3. Simboliza los siguientes enunciados. a. Un número x aumentado en 5 equivale a – 8. b. Si al triplo de un número x le restamos 5, se obtiene 13. c. La suma de dos números consecutivos es 24. d. Si le restamos 3 2 a la mitad de un número x, se obtiene 7 2 . e. Si a cinco veces un número x se divide entre 3 y se le resta 8, el resultado es cero. 4. Resuelve los siguientes problemas. a. Dos cajas contienen 188 manzanas. Si la segunda caja contiene 20 manzanas más que la primera, ¿cuántas manzanas hay en cada caja? b. El largo de un rectángulo es 5 m menor que el doble de su altura. Si el perímetro es 62 m, determina las dimensiones del rectángulo. c. En una miscelánea se vendieron 32 lápices, unos fueron vendidos a $1.500 pesos y otros a $2.000 pesos cada uno. Si el dinero recibido por la venta fue de $51.100, ¿cuántos lápices se vendieron de cada precio? d. La edad de un padre y su hijo suman 90 años. La edad del padre excede en 36 años a la del hijo. Determina las edades de los dos. e. El largo de un terreno rectangular excede en 3 m al doble de su ancho. Si el perímetro del terreno es 78 m, encuentra las dimensiones del terreno. 5. Halla la solución de las siguientes ecuaciones literales. a. x m m m 1 2 – = b. y a b y a 2 4 + = c. b b x b 1 2 – 1 3 – 2 + = d. a b y 2 4 3 2 3 – – + = e. c x c Cx c x 2 3 3 2 0 – – – 2 = 6. Determina la solución de las siguientes inecuaciones. a. x – 5< 2x – 6 b. 5x – 12 > 3x – 4 c. 3x – 14 < 7x – 2 d. 2x + 5 >17 e. 5 – x >– 6 M N 43° M N P 43° M N P 43° A B B B C 5 cm 7 cm 7 cm 10 cm 10 cm 10 cm 5 cm A A © Ediciones Milenio - Jenga 8 49 Construcción de triángulos En la construcción geométrica de triángulos se utilizan instrumentos, tales como la regla, el compás y el transportador; con ellos es posible construir triángulos si se conocen los tres lados, dos lados y el ángulo comprendido entre ellos o la medida de sus tres ángulos. Construcción de un triángulo si se conoce la longitud de los tres lados Paso 1. Se representa un segmento de medida igual al primer lado. Paso 2. Desde cada extremo del primer lado se traza una circunferencia cuyo radio sea la longitud del segundo y tercer lado, respectivamente. Paso 3. El triángulo tiene por vértices los extremos del primer segmento y una de las intersecciones de las circunferencias. Ejemplo Para construir un triángulo cuyos lados midan 5 cm, 7 cm y 10 cm, se sigue el procedimiento descrito: Se representa un segmento AB de longitud 10 cm. Con centro en A se dibuja un arco con abertura de 7 cm. Luego, con centro en B, se dibuja un arco con abertura 5 cm. El punto de intersección de los dos arcos anteriores es el punto C. Se trazan los segmentos AC y BC Se obtiene el triángulo escaleno ABC. Construcción de un triángulo si se conoce la longitud de los dos lados y el ángulo comprendido entre ellos Paso 1. Se construye el ángulo conocido Paso 2. Con el compás, se traslada la longitud de los segmentos dados en los lados del ángulo Paso 3. Se unen con segmentos los extremos de los dos lados para obtener el triángulo. Ejemplo Dados los segmentos MN y NP y el ángulo con vértice M, tal que m ]M = 43°: Se construye el ángulo de 43°. Usando el compás se trasladan los segmentos MN y NP sobre los lados del ángulo. Se traza el tercer lado uniendo los puntos N y P. © Ediciones Milenio - Jenga 8 7 Pensamiento numérico y variacional Pensamiento espacial y métrico Números racionales Expresiones decimales de un número racional Operaciones con números racionales Números irracionales Números reales Polinomios Desigualdades en los números reales Ángulos Triángulos Propiedades de los triángulos Ángulos determinados por rectas paralelas y una transversal Operaciones en el conjunto de los números reales Expresiones algebraicas Monomios Adición y sustracción de monomios Adición y sustracción de polinomios Simplificación de expresiones algebraicas Moda, mediana y media aritmética Cuartiles y deciles Medidas de dispersión Política económica 18 16 14 12 10 40 20 24 52 48 26 38 36 22 46 44 42 58 54 30 28 Pág. económica y FINANCIERA Educación Pensamiento aleatorio DBA 6 DBA 1 y 2 DBA 1 y 2 DBA 8 y 9 Piensa un número 11 47 69 Súmale 3 14 Multiplica el resultado por 2 28 Súmale 4 al resultado 32 Divide el resultado entre 2 16 Réstale al resultado el número que pensaste al inicio 5 Este es el resultado final 5 ¿Qué resultado obtuviste al final con 11, 47 y 69? Sigue sorprendiendo a tus compañeros con otras operaciones. Completa la tabla pidiéndole a tres personas que piensen un número y, al final, adivínales el resultado. Piensa un número Multiplica el resultado por 2 Súmale 9 al resultado Súmale el número que pensaste al resultado Divide el resultado entre 3. Súmale 4 a lo que quedó Réstale al resultado el número que pensaste al inicio Este es el resultado final 7 7 7 © Ediciones Milenio - Jenga 8 6 Adivina siempre el mismo resultado para cualquier número que pienses Verifica los resultados que se obtienen al efectuar las operaciones a partir de un número que haya pensado otra persona. Sigue el ejemplo si la otra persona pensó el 2 sin que tú lo sepas. Piensa un número 2 5 8 10 15 Súmale 5. 7 Multiplica el resultado por 2. 14 Al resultado réstale 4. 10 Divide el resultado entre 2. 5 Réstale al resultado el número que pensaste al inicio 3 Este es el resultado final 3 ¿Qué resultados obtuviste para 5, 8, 10 y 15? Este juego de números se modela con las siguientes operaciones algebraicas. Analiza. Indicación Lenguaje algebraico Resultado Piensa un número x x Súmale 5 x + 5 x + 5 Multiplica por 2 el resultado 2(x + 5) 2x + 10 Réstale 4 al resultado 2(x + 5) – 4 2x + 10 – 4 = 2x + 6 Divide el resultado entre 2 ( ) x 2 2 5 4 – + x 2 2 6+ = x +3 Réstale al resultado el número que pensaste al inicio ( ) x 2 2 5 4 – + – x x + 3 – x = 3 Ahora, completa el cuadro solicitándoles a 5 personas que piensen un número. Diles que vayan efectuando las operaciones y sorpréndelos informándoles que el resultado final es igual a 3. Piensa un número Súmale 5 Multiplica por 2 el resultado Réstale 4 al resultado Divide el resultado entre 2 Réstale al resultado el número que pensaste al inicio Este es el resultado final También puedes adivinar el resultado final realizando otras operaciones como las siguientes. Haz lo mismo que se hace para 11. Luego, completa la tabla para 47 y 69. Verifica el resultado de las siguientes adivinanzas Exploremos Aprendizajes
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