Pensamiento numérico y variacional Pensamiento espacial y métrico Pensamiento espacial y métrico Números racionales Expresiones decimales de un número racional Operaciones con números racionales Números irracionales Números reales Polinomios Desigualdades en los números reales Ángulos Triángulos Propiedades de los triángulos Ángulos determinados por rectas paralelas y una transversal Operaciones en el conjunto de los números reales Expresiones algebraicas Monomios Adición y sustracción de monomios Adición y sustracción de polinomios Simplificación de expresiones algebraicas Moda, mediana y media aritmética Cuartiles y deciles Medidas de dispersión Política económica 18 16 14 12 10 40 20 24 52 48 26 38 36 22 46 44 42 58 54 30 28 Pág. económica y FINANCIERA Educación Pensamiento aleatorio Pensamiento numérico y variacional Multiplicación de expresiones algebraicas por monomios Multiplicación de polinomios División de expresiones algebraicas entre monomios División de un polinomio entre otro polinomio División sintética. Regla de Ruffini Teorema del residuo Operaciones combinadas entre polinomios Productos notables Triángulo de Pascal Factor común monomio y polinomio Factor común por agrupación de términos Cocientes notables Triángulo rectángulo y teorema de Pitágoras Líneas notables del triángulo Método de demostración por contraejemplo La demostración Tablas de distribución de frecuencias Media aritmética para datos agrupados Varianza y desviación estándar para datos agrupados Crecimiento económico 66 70 68 78 76 74 72 94 90 82 80 102 100 98 108 84 106 104 110 114 Pág. económica y FINANCIERA Educación Pensamiento aleatorio DBA 6 DBA 3 DBA 9 DBA 7 DBA 9 DBA 11 DBA 11 DBA 1 y 2 DBA 1 y 2 DBA 8 y 9 © Ediciones Milenio - Jenga 8 2
Pensamiento numérico y variacional Pensamiento numérico y variacional Factorización de la diferencia de cuadrado Factorización de la suma y diferencia de cubos Factorización de suma o diferencias de potencias de igual base Factorización de un trinomio cuadrado perfecto Factorización de un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción Factorización de trinomios de la forma x2n + bxn + c Factorización de un trinomio de la forma ax2n + bx2n + c Factorización de cubos perfectos Igualdades y ecuaciones Fracciones algebraicas. Simplificación Ecuaciones con coeficientes fraccionarios y con coeficientes literales Adición y sustracción de fracciones algebraicas Multiplicación de fracciones algebraicas Resolución de problemas con planteamiento de ecuaciones División de fracciones algebraicas Inecuaciones lineales con una incógnita Operaciones combinadas con fracciones algebraicas. Fracciones complejas Concepto de función Funciones lineales y afines Pendiente de la recta y clasificación Ecuación de la recta Sistemas de ecuaciones lineales Rectas verticales y horizontales. Paralelas y perpendiculares Resolución de problemas con fracciones algebraicas Ecuaciones con fracciones algebraicas Factorización completa Ecuaciones lineales de la forma x ± a = b Factorización de un polinomio por división sintética Ecuaciones lineales de la forma ax = b Máximo común divisor y mínimo común múltiplo Ecuaciones lineales de la forma ax ± c = b Triángulos congruentes. Criterios Semejanza. Teorema de Tales Criterios de semejanza de triángulos Hábitos del sistema financiero Probabilidad Principio de multiplicación 126 124 122 128 130 132 136 134 182 154 190 156 160 194 162 196 164 212 210 208 206 216 214 158 192 138 184 140 186 152 188 174 170 146 168 166 142 Pág. económica y FINANCIERA Educación Pensamiento aleatorio Pensamiento espacial y métrico Poliedros y cuerpos redondos Área de poliedros, cilindros y conos Volumen de cuerpos geométricos Área y volumen de la esfera y los cuerpos compuestos Permutaciones Combinaciones El ahorro y la inversión 222 220 218 198 228 224 200 Pág. económica y FINANCIERA Educación Pensamiento espacial y métrico Pensamiento aleatorio DBA 3 DBA 3 DBA 3 DBA 6 y 7 DBA 6 y 7 DBA 8 y 10 DBA 8 y 10 DBA 6 y 7 DBA 12 DBA 12 DBA 3 DBA 3 DBA 3 DBA 3 DBA 4 DBA 3 DBA 4 DBA 4 © Ediciones Milenio - Jenga 8 3
© Ediciones Milenio - Jenga 8 4 128° 32° 32° 60° 69° 79° 60° 30° 20° 65° 55° E E E F F G 35° 35° 35° 72° 72° 6 cm 6 cm 6 cm H I J V W Z Q R R N © Ediciones Milenio - Jenga 8 50 COMUNICA COMUNICA PIENSA Y RAZONA PIENSA Y RAZONA Construcción de un triángulo con dos ángulos y un lado común Paso 1. Se construye el lado conocido. Paso 2. Desde cada uno de los extremos del lado se trazan los ángulos dados. Paso 3. La intersección de los lados de los ángulos es el tercer vértice del triángulo Ejemplo Para construir el triángulo EFG, del cual se conoce, m ]E = 35° y m ]F = 72° y el lado común EF de longitud 6 cm, se sigue el procedimiento descrito: Se traza el segmento EF de 6 cm de longitud, y en uno de sus extremos se construye uno de los ángulos; por ejemplo, ]E. Se construye el ]F en el otro extremo del segmento EF. El punto de intersección de los lados no comunes del ]E y del ]F es el vértice G del triángulo EFG. 1. Explica la clasificación de los triángulos según la longitud de sus lados y la medida de sus ángulos. 2. Clasifica los triángulos según la medida de sus lados. a. b. 3. Determina la clase de triángulo según la medida de sus ángulos representado a cada caso. a. b. Aprendizajes 4. Dibuja un ejemplo del triángulo que se indica en cada caso. a. Isósceles y rectángulo. b. Escaleno y acutángulo c. Escaleno y rectángulo. d. Isósceles y obtusángulo. e. Equilátero y acutángulo. c. d. c. d. r = 9 cm r = 9 cm r = 1 cm 8 cm 15 cm l r = 5 cm r = 2 cm 25 cm 12 cm 10 cm 35 cm © Ediciones Milenio - Jenga 8 181 7. Plantea la inecuación que permite resolver cada problema. a. Juan debe trasladar varias cajas de un primer piso hasta el quinto piso de un edificio. Un aviso del ascensor advierte que el peso máximo que soporta es de 800 kg. Si cada caja de libros pesa 70 kg, encuentra una expresión que permita determinar el número de cajas que se pueden subir, teniendo en cuenta que el peso de Juan es de 90 kg. b. Una avioneta puede transportar un peso máximo de 1.500 kg. Si se necesitan transportar cajas cuyo peso es de 80 kg, plantea una desigualdad que sea posible utilizar para determinar el número máximo de cajas que se pueden transportar, teniendo en cuenta que la piloto pesa 68 kg. c. En una bolera, el alquiler de zapatos cuesta $2.500 pesos y cada línea cuesta $4.000 pesos. Escribe la desigualdad que permita encontrar la cantidad de líneas que se pueden jugar con $20.000 pesos. d. Un estacionamiento del centro de la ciudad cobra $1.250 pesos por la primera hora y $750 por cada hora o fracción adicional. Escribe la inecuación que permite establecer el tiempo máximo que un conductor puede estacionar su automóvil ahí, si no desea pagar más de $3.750 pesos. e. Una compañía ofrece el servicio de llamadas de larga distancia y cobra a sus clientes $99 pesos por los primeros 20 minutos y $700 pesos por cada minuto adicional. Escribe la expresión que permite determinar la cantidad de minutos que se puede hablar con $5.000 pesos. 8. Completa la siguiente tabla sobre poliedros. Poliedro Número de caras Número de vértices Número de aristas Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro 9. Encuentra el área de los cilindros que se muestran en cada figura 10. Un cono circular recto tiene una altura de 15 cm y el radio de la base es de 8 cm. Determina la altura inclinada, el área y el volumen. 11. Halla el volumen de las esferas de la figura. 12. Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5? b. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar 8 personas en 8 sillas? c. Utilizando las letras de la palabra LIBRO, ¿cuántas palabras se pueden formar sin repetir letras? En esta sección activarás tus conocimientos previos mediante la realización de actividades, juegos, procedimientos y manualidades. Juego de inicio Cada unidad empieza con un juego en el que pondrás a prueba tus habilidades matemáticas. Los contenidos de cada componente se desarrollan con ejemplos y problemas de aplicación que posibilitan una mejor comprensión del conocimiento nuevo. Encontrarás que la exposición del tema nuevo se hace mediante la utilización de ejemplos y cuadros de síntesis. Cada tema termina con una serie de ejercicios y actividades relacionados con los procesos generales del área: modelación, comunicación matemática, razonamiento, ejercitación de procedimientos, y formulación y resolución de problemas. Pensamiento numérico Pensamiento espacial Pensamiento métrico Pensamiento variacional Pensamiento aleatorio © Ediciones Milenio - Jenga 8 180 Exploremos 1. Resuelve cada ecuación. a. 5x – 1 = 14 b. 5m – 3 = 2m + 6 c. 2x + 3 + x = 9 d. 4(2x – 4) = –2(x + 3) e. 2 – (x +5) = 4x – 8 f. 6 – (n + 3) = 3n + 5 – 2n g. 5 (a + 3) – a = –(4a – 6) + 1 h. 4x – 8 = – 4(2x – 3) + 4 i. 7(x – 1) = 4(x – 2) j. 4x – 2(3x – 7) = 2x – 6 2. Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones. a. x x 6 5 3 1 – + = b. x x 5 3 3 2 5 1 0 – + = c. x x x 4 3 5 1 2 4 5 20 3 – – + = d. x 3 4 5 0 – – = e. x x x 3 2 5 10 7 2 3 – = – + 1 f. x x 2 6 8 1 = – g. x x 4 3 5 3 2 + = + h. x x 2 1 2 + =3 +1 i. x x 4 10 7 5 1 – – = j. x x x 2 1 3 2 4 3 – – – – = 3. Simboliza los siguientes enunciados. a. Un número x aumentado en 5 equivale a – 8. b. Si al triplo de un número x le restamos 5, se obtiene 13. c. La suma de dos números consecutivos es 24. d. Si le restamos 3 2 a la mitad de un número x, se obtiene 7 2 . e. Si a cinco veces un número x se divide entre 3 y se le resta 8, el resultado es cero. 4. Resuelve los siguientes problemas. a. Dos cajas contienen 188 manzanas. Si la segunda caja contiene 20 manzanas más que la primera, ¿cuántas manzanas hay en cada caja? b. El largo de un rectángulo es 5 m menor que el doble de su altura. Si el perímetro es 62 m, determina las dimensiones del rectángulo. c. En una miscelánea se vendieron 32 lápices, unos fueron vendidos a $1.500 pesos y otros a $2.000 pesos cada uno. Si el dinero recibido por la venta fue de $51.100, ¿cuántos lápices se vendieron de cada precio? d. La edad de un padre y su hijo suman 90 años. La edad del padre excede en 36 años a la del hijo. Determina las edades de los dos. e. El largo de un terreno rectangular excede en 3 m al doble de su ancho. Si el perímetro del terreno es 78 m, encuentra las dimensiones del terreno. 5. Halla la solución de las siguientes ecuaciones literales. a. x m m m 1 2 – = b. y a b y a 2 4 + = c. b b x b 1 2 – 1 3 – 2 + = d. a b y 2 4 3 2 3 – – + = e. c x c Cx c x 2 3 3 2 0 – – – 2 = 6. Determina la solución de las siguientes inecuaciones. a. x – 5< 2x – 6 b. 5x – 12 > 3x – 4 c. 3x – 14 < 7x – 2 d. 2x + 5 >17 e. 5 – x >– 6 M N 43° M N P 43° M N P 43° A B B B C 5 cm 7 cm 7 cm 10 cm 10 cm 10 cm 5 cm A A © Ediciones Milenio - Jenga 8 49 Construcción de triángulos En la construcción geométrica de triángulos se utilizan instrumentos, tales como la regla, el compás y el transportador; con ellos es posible construir triángulos si se conocen los tres lados, dos lados y el ángulo comprendido entre ellos o la medida de sus tres ángulos. Construcción de un triángulo si se conoce la longitud de los tres lados Paso 1. Se representa un segmento de medida igual al primer lado. Paso 2. Desde cada extremo del primer lado se traza una circunferencia cuyo radio sea la longitud del segundo y tercer lado, respectivamente. Paso 3. El triángulo tiene por vértices los extremos del primer segmento y una de las intersecciones de las circunferencias. Ejemplo Para construir un triángulo cuyos lados midan 5 cm, 7 cm y 10 cm, se sigue el procedimiento descrito: Se representa un segmento AB de longitud 10 cm. Con centro en A se dibuja un arco con abertura de 7 cm. Luego, con centro en B, se dibuja un arco con abertura 5 cm. El punto de intersección de los dos arcos anteriores es el punto C. Se trazan los segmentos AC y BC Se obtiene el triángulo escaleno ABC. Construcción de un triángulo si se conoce la longitud de los dos lados y el ángulo comprendido entre ellos Paso 1. Se construye el ángulo conocido Paso 2. Con el compás, se traslada la longitud de los segmentos dados en los lados del ángulo Paso 3. Se unen con segmentos los extremos de los dos lados para obtener el triángulo. Ejemplo Dados los segmentos MN y NP y el ángulo con vértice M, tal que m ]M = 43°: Se construye el ángulo de 43°. Usando el compás se trasladan los segmentos MN y NP sobre los lados del ángulo. Se traza el tercer lado uniendo los puntos N y P. © Ediciones Milenio - Jenga 8 7 Pensamiento numérico y variacional Pensamiento espacial y métrico Números racionales Expresiones decimales de un número racional Operaciones con números racionales Números irracionales Números reales Polinomios Desigualdades en los números reales Ángulos Triángulos Propiedades de los triángulos Ángulos determinados por rectas paralelas y una transversal Operaciones en el conjunto de los números reales Expresiones algebraicas Monomios Adición y sustracción de monomios Adición y sustracción de polinomios Simplificación de expresiones algebraicas Moda, mediana y media aritmética Cuartiles y deciles Medidas de dispersión Política económica 18 16 14 12 10 40 20 24 52 48 26 38 36 22 46 44 42 58 54 30 28 Pág. económica y FINANCIERA Educación Pensamiento aleatorio DBA 6 DBA 1 y 2 DBA 1 y 2 DBA 8 y 9 Piensa un número 11 47 69 Súmale 3 14 Multiplica el resultado por 2 28 Súmale 4 al resultado 32 Divide el resultado entre 2 16 Réstale al resultado el número que pensaste al inicio 5 Este es el resultado final 5 ¿Qué resultado obtuviste al final con 11, 47 y 69? Sigue sorprendiendo a tus compañeros con otras operaciones. Completa la tabla pidiéndole a tres personas que piensen un número y, al final, adivínales el resultado. Piensa un número Multiplica el resultado por 2 Súmale 9 al resultado Súmale el número que pensaste al resultado Divide el resultado entre 3. Súmale 4 a lo que quedó Réstale al resultado el número que pensaste al inicio Este es el resultado final 7 7 7 © Ediciones Milenio - Jenga 8 6 Adivina siempre el mismo resultado para cualquier número que pienses Verifica los resultados que se obtienen al efectuar las operaciones a partir de un número que haya pensado otra persona. Sigue el ejemplo si la otra persona pensó el 2 sin que tú lo sepas. Piensa un número 2 5 8 10 15 Súmale 5. 7 Multiplica el resultado por 2. 14 Al resultado réstale 4. 10 Divide el resultado entre 2. 5 Réstale al resultado el número que pensaste al inicio 3 Este es el resultado final 3 ¿Qué resultados obtuviste para 5, 8, 10 y 15? Este juego de números se modela con las siguientes operaciones algebraicas. Analiza. Indicación Lenguaje algebraico Resultado Piensa un número x x Súmale 5 x + 5 x + 5 Multiplica por 2 el resultado 2(x + 5) 2x + 10 Réstale 4 al resultado 2(x + 5) – 4 2x + 10 – 4 = 2x + 6 Divide el resultado entre 2 ( ) x 2 2 5 4 – + x 2 2 6+ = x +3 Réstale al resultado el número que pensaste al inicio ( ) x 2 2 5 4 – + – x x + 3 – x = 3 Ahora, completa el cuadro solicitándoles a 5 personas que piensen un número. Diles que vayan efectuando las operaciones y sorpréndelos informándoles que el resultado final es igual a 3. Piensa un número Súmale 5 Multiplica por 2 el resultado Réstale 4 al resultado Divide el resultado entre 2 Réstale al resultado el número que pensaste al inicio Este es el resultado final También puedes adivinar el resultado final realizando otras operaciones como las siguientes. Haz lo mismo que se hace para 11. Luego, completa la tabla para 47 y 69. Verifica el resultado de las siguientes adivinanzas Exploremos Aprendizajes
© Ediciones Milenio - Jenga 8 5 © Ediciones Milenio - Jenga 8 115 Medio ambiente El crecimiento económico es responsable de un aumento en la industrialización. Por consiguiente, sus efectos en la contaminación del planeta son alarmantes. Si bien, los líderes de los países más ricos del mundo se reúnen para hablar del tema el compromiso es nulo. Los países que basan su economía en la extracción de recursos no renovables son los principales perjudicados a largo plazo, porque, aunque reciban grandes cantidades de dinero por exportar sus minerales, eso no se compara con el daño ambiental que sufrirán en un futuro cercano. 1. Una de las consecuencias del crecimiento económico de un país es: a. Aumento en la producción y extracción de minerales. b. Reducción de los ingresos debido al auge del consumismo. c. Mejora en la calidad de vida de las personas de un país. d. Trabajo por horas extra para cubrir las demandas del mercado. 2. Juan tiene una empresa que produce jugos artesanales. Para aumentar la productividad de su empresa, Juan debería: a. Reducir los costos contratando por menos sueldo. b. Tecnificar la producción con una máquina extractora de jugo. c. Comprar materia prima que esté a mitad de precio. d. Producir jugos con las frutas más baratas. 3. Diana quiere ingresar a la Universidad, pero no tiene los medios económicos para costear sus estudios. Sus padres le dicen que mejor trabaje, ya que tienen bastantes necesidades por cubrir. ¿Qué debería hacer Diana? a. Ponerse a trabajar, ya que sus padres necesitan ayuda económica. b. Buscar una beca o ayuda para financiar sus estudios y luego conseguir un trabajo bien remunerado. c. Trabajar unas horas a la semana y descansar el resto del tiempo. d. Buscar un crédito para ayudar a sus padres y trabajar para pagarlo. 4. El padre de Camilo trabaja en una empresa y su madre es ama de casa, aunque tiene un título en una carrera técnica. Han tenido algunas dificultades económicas porque el salario del padre no alcanza para cubrir los gastos. ¿Qué podría hacer la familia de Camilo para superar las dificultades económicas? a. El padre debe conseguir un trabajo mejor remunerado y la madre necesita reducir la compra de comida. b. El padre puede capacitarse para ascender en su trabajo y la madre puede trabajar desde casa. c. Reducir los gastos básicos como las salidas a cine y visitas a parques. d. Irse a vivir a un sitio más económico y comprar solo productos con descuento. Reflexión Las personas que aumentan sus ingresos como consecuencia de la realización de un trabajo, o porque tienen un emprendimiento, contribuyen con el crecimiento económico del país. ¿De qué manera aporta tu familia al crecimiento económico del país? ¿Qué acciones han permitido mejorar las condiciones de vida de tu familia? ¿Qué iniciativas ayudarían a mejorar la productividad en el país? © Ediciones Milenio - Jenga 8 33 3. Los lados de un rectángulo miden 8 cm y 15 cm, respectivamente. Determina la longitud de la diagonal. 4. Un tanque esférico tiene una capacidad de 4.000 L. ¿Cuál es la medida del radio del tanque? 5. La plaza de un pueblo es de forma cuadrada y cada lado tiene una longitud de 90 m. Si Juan se debe trasladar de una esquina a la opuesta, ¿cuántos metros menos debe hacerlo, Juan, si en lugar de moverse por los lados lo hace por una diagonal? 6. El área que cubre un tapete circular es de 2r m2. ¿Cuál es la medida del radio del tapete? Otros problemas 7. Diego y Mary están preparando galletas. Diego tiene 2 1 taza de azúcar y Mary tiene 3 1 de taza. ¿Qué cantidad de azúcar reúnen entre los dos? 8. Un arqueólogo encontró cinco partes de una estatua antigua, que corresponden a 5 1 , 7 1 , 5 1 , 6 1 y 7 1 de la pieza original. ¿Fue posible reconstruir la estatua por completo? 9. En un almacén, 16 5 de los zapatos que se venden son para mujer y 5 2 son para hombres. ¿Qué fracción es la cantidad restante correspondiente a zapatos para niños y niñas? ¿qué fracción es? 10. Juan llena un recipiente con 12 7 de litro de agua. Si su esposa utiliza 2 1 litro de agua, ¿qué cantidad de agua queda en el recipiente? Formulación de problemas 11. Un campesino tiene un terreno de forma rectangular. La mitad del terreno está dispuesto para la siembra de hortalizas, la mitad del terreno sembrado con hortalizas está con legumbres y la mitad de este terreno está sembrado con arvejas. a. ¿Qué fracción del terreno está sembrado con legumbres? b. ¿Qué fracción del terreno está sembrado con arvejas? c. Si el área total del terreno es de 400 m2, ¿cuál es el área sembrada con hortalizas? d. Si el área total del terreno es de 400 m2, ¿cuál es el área sembrada con legumbres? 12. El consumo de combustible de un camión durante un día de viaje es de 21,75 L, el del siguiente día es de 15,20 L, el del tercer día es 17,45 L y el último día la mitad de lo que le quedaba. Si para comenzar el viaje el tanque de gasolina iba con 80 L: a. ¿cuánto combustible consumió en total? b. ¿cuánto combustible le queda después de 4 días de viaje, si la capacidad del tanque de gasolina es de 100 L? c. ¿cuánto combustible consumió el último día? d. ¿cuánta gasolina debe depositarse para que el tanque quede lleno? Tabla de respuestas 12345678910111213 AAAAAAAAAAAAA BBBBBBBBBBBBB CCCCCCCCCCCCC DDDDDDDDDDDDD 35 % 20 % 10 % Fútbol 10 % 25 % Baloncesto Natación Ciclismo Atletismo Deporte favorito Cantidad deestudiantes 20 25 30 35 40 45 15 10 5 0 Fútbol Baloncesto Natación Ciclismo Atletismo Deporte favorito Cantidadde estudiantes 20 25 30 35 40 45 15 10 5 0 Fútbol Baloncesto Natación Ciclismo Atletismo Deporte favorito Cantidad de estudiantes 20 25 30 35 40 45 15 10 5 0 Fútbol Baloncesto Natación Ciclismo Atletismo Deporte favorito Cantidad de estudiantes 20 25 30 35 40 45 15 10 5 0 Fútbol Baloncesto Natación Ciclismo Atletismo © Ediciones Milenio - Jenga 8 61 9. Se realizó una encuesta a 120 estudiantes de grado octavo sobre su deporte favorito. Los resultados se muestran en el siguiente diagrama circular: 10. Se preguntó a 10 estudiantes de grado 8 sobre la talla de zapatos que usan. Estos fueron los resultados: 36 35 37 35 36 34 35 36 34 36 38 36 Con respecto a los datos es correcto afirmar que: I. La media es igual a la moda. II. La mediana y la moda tienen el mismo valor. III. La media y la mediana son iguales. Las afirmación o afirmaciones correctas son: A. I y II B. I y III C. Solo II D. Solo III 11. Al dividir entre 60 cierto número se obtiene 4 1 . ¿Cuál es el número? A. 30 B. 15 C. 25 D. 20 La gráfica que representa la cantidad de estudiantes por deporte favorito es: a. b. c. d. 12. Un sastre debe arreglar la bota de un pantalón. Si el largo es de 115 cm y le hace un dobladillo de 1 4 3 cm, ¿de qué largo queda ahora el pantalón? A. 100 7 2 B. 105 3 2 C. 113 4 1 D. 108 3 1 Las preguntas de la 13 a la 15 se resuelven con la siguiente información. Se ha encuestado a 1.000 personas sobre sus gustos musicales. 13. Si a 4 de cada 10 personas les gusta la música clásica, ¿cuántas de ellas prefieren otros ritmos musicales? A. 600 B. 300 C. 800 D. 200 Es el principal objetivo de la enseñanza de las matemáticas. Se presenta el modelo desarrollado del proceso propuesto por el matemático Pólya para la resolución de problemas: comprensión del enunciado, planeación de una estrategia, resolución de operaciones y verificación del resultado. Los procesos y contenidos trabajados durante la unidad se evalúan en un formato de evaluación sumativa que busca resultados que representarás en un diverplano o plano cartesiano. Aquí verificas el dominio conceptual del tema junto con la habilidad en la resolución de procedimientos y te divertirás encontrando la figura propuesta en el plano. La educación financiera abarca diferentes aspectos de la vida, si es enseñada desde temprana edad, preparará a los más pequeños para tomar mejores decisiones en el futuro. Cada unidad cuenta con un apartado dedicado a este tema. Cada sección de trabajo se identifica con un ícono que representa la competencia por desarrollar. 2m + 3n 2m + 3n 2m + 3n 2m + 3n 2m + 3n 2m + 3n 5a + b 3a – b 2x 2x 2x 5 5 5 1 2 r m n 3 4 34° 44° 39° 29° 68° 67° 45° 34° 45° E A B C D 56° © Ediciones Milenio - Jenga 8 Saber Evaluación Tipo 60 1. El perímetro de la figura es: 6. Dado el triángulo de la figura y sus características. A. 12n + 18m B. 30mn C. 6nm D. 12m + 18n 2. El área de la figura es: A. a ab b 2 15 – 2 – 2 2 B. a ab b 2 15 2 2 2 + + C. a 2 18 2 D. a b 2 11 – 5 2 2 3. Dada la expresión 3xy + 4x2y2 – 5x3y3. Si x = 1 y y = 4, se puede afirmar que la expresión equivale a: A. 736 B. –244 C. –324 D. 856 4. El área de la región sombreada es: A. A = 2x2 B. A = 4x2 C. A = 8x2 D. A = 16x2 5. Al reducir términos semejantes de la expresión: 2x(x + 3) – 5x(–x + 2x) el resultado es: A. 6x – 3x2 B. 6x + 3x2 C. 9x3 D. 6x2 – 3x4 I. Es un triángulo equilátero, ya que todos sus lados miden lo mismo. II. Es equiángulo, ya que sus tres ángulos son congruentes. III. Es acutángulo, ya que todos sus ángulos son agudos. Las afirmaciones correctas son: A. I y III B. I y II C. I, II y III D. Solo I 7. Observa la imagen: El triángulo rectángulo es: A. ∆ABC B. ∆CDE C. ∆DAC D. ∆EBC 8. Las rectas m y n son paralelas; se cortan por la transversal r. Los ángulos congruentes son: A. ∡1 y ∡4, ya que son alternos internos. B. ∡2 y ∡3, ya que son alternos externos. C. ∡2 y ∡4, porque son correspondientes. D. ∡1 y ∡4, porque son suplementarios. 5 m a = ? 1 m © Ediciones Milenio - Jenga 8 32 Estrategia de resolución de problemas Estrategia: Representa el problema Una escalera de 5 m de largo está apoyada en una pared. La distancia de la pared al pie de la escalera es de 1 m. ¿A qué altura sobre el piso se encuentra el extremo superior de la escalera? Comprende el enunciado ¿Qué longitud tiene la escalera? 5 m de largo. ¿Qué distancia hay de la base de la escalera a la pared? La distancia es de 1 m. ¿Qué se debe resolver en este problema? La altura a la que está ubicada la escalera con respecto al suelo. Planea la estrategia Debemos identificar la figura que se forma al ubicar la escalera inclinada. De esta manera se identifican los lados de un triángulo y sus catetos. Al identificar los lados cuya medida se conoce, podemos determinar la incógnita y resolverla. La escalera, la pared y la línea trazada del pie de la pared al extremo inferior de la escalera forman un triángulo rectángulo, por lo que se puede aplicar el teorema de Pitágoras. Ejecuta la estrategia • Tenemos el teorema de Pitágoras c2 = a2 + b2 • Despejamos la incógnita a de la ecuación anterior a2 = c2 – b2 • Reemplazamos los valores de c y b, que son conocidos a2 = (5 m)2 – (1 m)2 • Resolvemos los cuadrados a2 = 25 m2 – 1 m • Reducimos términos a2 = 24 m2 • Extraemos raíz cuadrada a = 24 m2 • Descomponiendo la cantidad subradical en factores primos tenemos : 24 2 12 2 6 2 3 3 1 • Los factores son 2 $ 2 $ 2 $ 3 = 4 $ 6 • Aplicando raíz cuadrada a = 4.6 m2 • Nos queda a = 2 6 m • Obtenemos a = 2 6 m Verifica y contextualiza Al resolver el teorema de Pitágoras se tiene que C2 = a2 + b2; si reemplazamos, se debe cumplir la igualdad: (5 m)2 = 2 6 m 2 ^ h + (1 m)2 25 m2 = (4 $ 6 m2 ) + 1 m2 25 m2 = 24 m2 + 1 m2 25 m2 = 25 m2 se cumple la igualdad. Problemas similares 1. Una escalera de 5 m de longitud tiene su extremo superior sobre una pared y su extremo inferior a 3 m de la base de la pared, sobre el suelo. Calcula la altura que alcanza el extremo superior de la escalera. Productividad © Ediciones Milenio - Jenga 8 económica y FINANCIERA Educación 114 Crecimiento económico El crecimiento económico es la evolución positiva de los estándares de vida de los habitantes de un país, que se reflejan en un aumento de la producción dentro de un periodo de tiempo. La productividad indica cuánto es capaz de producir un trabajador en un periodo de tiempo determinado. Los principales factores que permiten el aumento de la productividad son: El capital físico: son todas las máquinas y herramientas que permiten a un trabajador producir más. Por ejemplo, las máquinas para fabricar tornillos y las carreteras por donde sale el carbón que se extrae de las minas. Capital humano: es la capacitación y experiencia de los trabajadores que les permite trabajar de manera más eficiente. Invertir en educación es clave para mejorar la productividad. Progreso tecnológico: la tecnología ha permitido realizar algunas tareas de manera más rápida para que los trabajadores puedan producir más. Por ejemplo, el uso de código de barras en los supermercados agiliza el pago de los productos más rápido. El aumento en la productividad llevará a un mayor crecimiento económico a largo plazo. Por eso es necesario aumentar el capital físico, mejorar el capital humano y apostarle al progreso tecnológico. El crecimiento económico es uno de los objetivos de las políticas económicas que implementan los países, ya que se busca mejorar la calidad de vida de sus habitantes, la distribución de la riqueza y el cuidado del medio ambiente. La calidad de vida El aumento de la producción incrementa la riqueza de un país. De esta manera, si hay más personas produciendo (trabajando) bienes y servicios, se podrán satisfacer más necesidades, lo que implica un aumento en el bienestar. A su vez, un aumento en los ingresos permitirá a las personas consumir más bienes y servicios. De igual manera, un aumento de la producción impone la necesidad de contratar más personas para trabajar; por lo tanto, el crecimiento económico puede mejorar la calidad de vida. Distribución de la riqueza La productividad de un país se multiplica gracias al innumerable grupo de personas que trabajan diariamente y movilizan la economía. Sin embargo, eso no quiere decir que las personas que más trabajan o producen son las que tienen más riqueza. Por el contrario, podría decirse que un mínimo porcentaje de la población en cada país, e incluso en el mundo, acumula la riqueza, que suman millones de personas. Por ejemplo, Jeff Bezos, el fundador de Amazon, empresa de envíos electrónicos, tiene una fortuna calculada en $ 177.000 millones de dólares, mientras que muchas personas en el mundo viven con menos de 30 dólares al día. Lo anterior no quiere decir que para reducir la cantidad de pobres en el mundo se deba dividir la fortuna de multimillonarios como Bezos entre todos. Lo ideal sería que cada país pudiera mejorar la productividad a través del apoyo a las empresas, que son las que generan los puestos de trabajo, capacitando a las personas tanto a nivel técnico como profesional y mejorando sus condiciones laborales. económica y FINANCIERA Educación PRACTICA Estrategia de resolución de problemas Saber Evaluación Tipo APLICA COMUNICA RESUELVE PROBLEMAS
© Ediciones Milenio - Jenga 8 6 Adivina siempre el mismo resultado para cualquier número que pienses Verifica los resultados que se obtienen al efectuar las operaciones a partir de un número que haya pensado otra persona. Sigue el ejemplo si la otra persona pensó el 2 sin que tú lo sepas. Piensa un número 2 5 8 10 15 Súmale 5. 7 Multiplica el resultado por 2. 14 Al resultado réstale 4. 10 Divide el resultado entre 2. 5 Réstale al resultado el número que pensaste al inicio 3 Este es el resultado final 3 ¿Qué resultados obtuviste para 5, 8, 10 y 15? Este juego de números se modela con las siguientes operaciones algebraicas. Analiza. Indicación Lenguaje algebraico Resultado Piensa un número x x Súmale 5 x + 5 x + 5 Multiplica por 2 el resultado 2(x + 5) 2x + 10 Réstale 4 al resultado 2(x + 5) – 4 2x + 10 – 4 = 2x + 6 Divide el resultado entre 2 ( ) x 2 2 +5 – 4 x 2 2 +6 = x +3 Réstale al resultado el número que pensaste al inicio ( ) x 2 2 +5 – 4 – x x + 3 – x = 3 Ahora, completa el cuadro solicitándoles a 5 personas que piensen un número. Diles que vayan efectuando las operaciones y sorpréndelos informándoles que el resultado final es igual a 3. Piensa un número Súmale 5 Multiplica por 2 el resultado Réstale 4 al resultado Divide el resultado entre 2 Réstale al resultado el número que pensaste al inicio Este es el resultado final También puedes adivinar el resultado final realizando otras operaciones como las siguientes. Haz lo mismo que se hace para 11. Luego, completa la tabla para 47 y 69. Verifica el resultado de las siguientes adivinanzas
© Ediciones Milenio - Jenga 8 7 Pensamiento numérico y variacional Pensamiento espacial y métrico Números racionales Expresiones decimales de un número racional Operaciones con números racionales Números irracionales Números reales Polinomios Desigualdades en los números reales Ángulos Triángulos Propiedades de los triángulos Ángulos determinados por rectas paralelas y una transversal Operaciones en el conjunto de los números reales Expresiones algebraicas Monomios Adición y sustracción de monomios Adición y sustracción de polinomios Simplificación de expresiones algebraicas Moda, mediana y media aritmética Cuartiles y deciles Medidas de dispersión Política económica 18 16 14 12 10 40 20 24 52 48 26 38 36 22 46 44 42 58 54 30 28 Pág. económica y FINANCIERA Educación Pensamiento aleatorio DBA 6 DBA 1 y 2 DBA 1 y 2 DBA 8 y 9 Piensa un número 11 47 69 Súmale 3 14 Multiplica el resultado por 2 28 Súmale 4 al resultado 32 Divide el resultado entre 2 16 Réstale al resultado el número que pensaste al inicio 5 Este es el resultado final 5 ¿Qué resultado obtuviste al final con 11, 47 y 69? Sigue sorprendiendo a tus compañeros con otras operaciones. Completa la tabla pidiéndole a tres personas que piensen un número y, al final, adivínales el resultado. Piensa un número Multiplica el resultado por 2 Súmale 9 al resultado Súmale el número que pensaste al resultado Divide el resultado entre 3. Súmale 4 a lo que quedó Réstale al resultado el número que pensaste al inicio Este es el resultado final 7 7 7
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